Alp22.ru

Промышленное строительство
0 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Линейчатые и нелинейчатые поверхности

Линейчатые и нелинейчатые поверхности

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЦВЕТНЫХ РИСУНКОВ

ПРИ КОНСТРУИРОВАНИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ

В НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ

Вертинская Н. Д. профессор, доктор технических наук

Иркутский государственный технический университет, Россия

Как известно, поверхность – двупараметрическое множество точек [1].

Например, плоскость несет множество точек, имеющих две координаты.

Поверхность можно образовать движением линии g i по некоторой линии d i . Такой способ образования поверхности назы-вается кинематическим . Линия g i называется образующей , линия d i — направляющей (рис.1). Говоря о кинематическом способе образования поверхности вводится понятие определителя поверхности, как совокупности независимых условий, однозначно определяющих поверх-ность.

Определитель поверхности состоит из двух частей: геометрической и алгоритмической. Например, сфера F однозначно определяется центром и радиусом, что записывается – Ф(О,R). Центр О и радиус составляют геометрическую часть определителя, а алгоритмическая часть формулируется словами: сфера это множество точек пространства, удаленных от точки О на расстоянии R.

Такие поверхности, как поверхности фюзеляжа самолета, кузова авто-мобиля, лопатки турбины и т.д. имеют сложные законы образования. Их оп-ределители сложны и разнообразны. Поэтому выработали универсальный определитель, геометрическую часть которого составляет дискретный каркас (множество) образующих, а алгоритмическую часть – алгоритм уплотнения каркаса (переход от дискретного каркаса к непрерывному) .

Например, в топографии рельеф земной поверхности задается семейством горизонталей – сечений поверхности плоскостями уровня (рис.2) .

Построение проекционных изображе-ний поверхностей вызывает определенные трудности. Поэтому кинематические поверх-ности задаются проекциями элементов гео-метрической части определителя. Для того, чтобы определить одна поверхность нами за-дана или семейство поверхностей, нужно выяснить является ли чертеж поверхности полным. Критерием полноты чертежа являе-тся: по одной проекции точки, можно ли по-строить единственную вторую ее проекцию.

Некоторые поверхности можно описать алгебраическими уравнениями в декартовой прямоугольной системе координат. В этом случае поверхность будет алгебраической , в противном — трансцендентной.

Порядок поверхности определяется количеством точек ее пересечения с любой прямой. Это определение для алгебраических поверхностей, если же точек пересечения поверхности с прямой бесконечно много, то такая поверхность трансцендентная.

Порядок поверхности определяется и порядком плоской кривой, полученной в пересечении поверхности с любой плоскостью.

Многообразие поверхностей требует их систематизации. При рассмот-рении кинематического способа образования поверхностей в основе систе-матизации лежат два признака: вид образующих и закон их перемещения.

По виду образующей все поверхности можно разделить на линейчатые (образующая прямая) и нелинейчатые (образующая кривая пространственная или плоская), а по закону перемещения образующей – поверхности параллельного переноса, вращения и винтовые.

Поверхности, образованные движением прямой по заданному закону называются линейчатыми. Линейчатые поверхности широко используются в технике. Это покрытия и ограждения архитектурных сооружений, поверхно-сти крыльев и оперения, отсеков фюзеляжей, пилонов самолета, поверхностей цилиндрических и конических передач и т.д. Закон движения прямой линии обычно задается направляющими. Таких направляющих может быть не более трех.

Действительно, пусть даны три направляющие пространственные кривые (рис. 3).

Возьмем, например, точку МÎ, и примем ее за вершину конической поверхности S(М,), у которой кривая будет направляющей, тогда кривая пересечет коническую поверхность S (M, ) хотя бы в одной точке, например, N. Прямая (МN)=g ÌS обязательно пересечет кривую хотя бы в одной точке, например, L .Перемещая точку М по кривой мы получим множество прямых, которые выделят в пространстве единственную линейчатую поверхность Ф.Одну из направля-

ющих кривых, например, можно заменить поверхностью (плоскостью) .

Тогда линейчатая поверхность будет называться поверхностью Каталана.

Образующие g этой поверхности отвечают трем условиям: они пересекают кривые и и параллельны поверхности (плоскости)  Если в качестве поверхности D мы выберем плоскость, то получаемые поверхности будут называться поверхности с плоскостью параллелизма .

В зависимости от вида направляющих и линейчатые поверхности с

плоскостью параллелизма называются цилиндроидом, коноидом и косой

Поверхности с плоскостью параллелизма

Цилиндроидом называется линейчатая поверхность с плоскостью па-раллелизма, у которой направляющими являются пространствен-ные или плоские кривые.

Чтобы решать задачи на поверхности цилиндроида необходимо задать его каркас прямолинейными образующими g i (g i1 , g i2 ). Пусть у нас дана плоскость параллелизма П 1 , значит g i будут горизонталями. Далее строим несколько прямолинейных образующих.

Для того, чтобы убедиться, что мы задали единственную поверхность цилиндроида, надо на его поверхности решить задачу (рис. 4):

если точка на поверхности задана ее одной проекцией, то необходимо найти вторую ее проекцию, если она будет единственной, то полученная поверхность будет единственная.

Решение. Пусть дана точка А задана фронтальной проекцией А 2 , то проведя через нее горизонтальную проекцию линейной образующей`g 2 и по ней построим горизонтальную проекцию`g 1 , на которую спроецируем точку А 2

и получим точку А 1 . Если точка В задана своей горизонтальной проекцией В 1 , то чтобы найти фронтальную проекцию В 2 необходимо через провести горизонтально

проецирующую плоскость, например, , где – кривая по ко-торой пересекает плоскость с цилинд-роидом. Построив фронтальную проекцию кривой и спроецировав точку В 2 , на получим проекцию В 1 . Отсюда делаем заключение, что поверхность цилиндроида единственная.

Коноидом называется линейчатая поверхность с плоскостью параллелизма, имеющая криволи-нейную и прямолинейную направляющие. Гео-

метрическая часть определителя будет выгля-

деть так :Ф(, ` d ” ) (рис. 5).

Косой плоскостью называется линейчатая поверхность с плоскостью параллелизма и прямолинейными образующими ` d ’ , ` d ” (рис. 6).

Коническая поверхность общего вида об-разуется движением прямой g (образующей), проходящей через фиксированную точку S (вершину) и пересекающей направляющую кривую d’ (рис. 7).

Коническая поверхность с несобственной вершиной S ¥ (s) называется цилиндрической (рис. 8).

Линейчатая поверхность, образованная множест-вом касательных к пространственной кривой m, называется торсовой или поверхностью с ребром возврата. Направляющая кривая m поверхности Ф называется ребром возврата (рис. 9).

Поверхность, образованная вращением некоторой линии (образующей) вокруг некоторой прямой i, называется поверхностью вращения. Геометрии-ческая часть такой поверхности записывается так: Ф(i, g). На чертеже поверх-ность вращения Ф(i,g) задается осью i и образующей g (рис.10).

Для построить точку АÎФ, необходимо определить окружность m-сечения поверхности Ф плоскостью S 2 ^i. Окружность m определяется центром

О(О 1 ,О 2 )=iÇS и радиусом [OL], где L= lÇS.

Читайте так же:
Формула расчета средней мощности

Сечения поверхности Ф плоскостями, пер-пендикулярными оси i, называются паралле-лями.

Параллель, радиус которой больше радиуса смежных параллелей называется экватором n (n 1 , n 2 ). Параллель, радиус которой меньше сме-жных радиусов, называется горловой l (l 1 , l 2 ).

Cечения поверхности вращения плоскос-тями, проходящими через ее ось, называются меридианами. Меридиан, принадлежащий фронтальной плоскости уровня Г 1 =g 1 , называется главным меридианом g (g 1 , g 2 ).

Cемейства параллелей и меридианов образуют прямоугольный сетчатый каркас поверхности вращения. Через каждую точку поверхности проходит одна параллель и один меридиан, пересекающиеся под прямым углом.

Далее рассмотрим поверхности вращения четвертого прядка, получен-ные вращением окружности g вокруг оси i, лежащей в плоскости окружности, которые называются торами . В зависимости от расположения оси i от-носительно центра окружности, тор может быть открытым (d>r) или закры-тым(d

3 Виды поверхностеЙ и их проекции

Ранее были рассмотрены особенности отображения точки, прямой и плоскости на комплексном чертеже. Для изображения прямой необходимо выполнить проекции двух ее точек, плоскости – трех точек. Кривые поверхности отображаются на комплексном чертеже в виде проекций:

образующей линии, направляющей линии и очерка поверхности;

направляющей и плоскости параллелизма;

геометрической части определителя поверхности;

конечного множества точек, позволяющих аппроксимировать кривую поверхность поверхностью многогранника, вершины которого расположены на поверхности, а гранями являются треугольники, образующие определенную (триангуляционную) сеть.

Каркасом называется множество линий, заполняющих поверхность так, что через каждую точку поверхности в общем случае проходит одна линия каркаса.

Кривая поверхность может быть представлена с помощью математической формулы (например, алгебраические выражения второго порядка), тогда координаты линий ее каркаса вычисляют по формуле, а затем вычерчивают их проекции.

Многообразие поверхностей требует их систематизации на основе классификации. Такая систематизация, впрочем, достаточно условна, так как одни и те же поверхности могут быть классифицированы по разным признакам. Например, коническая поверхность вращения относится к линейчатым и поверхностям вращения. Если выделить главные признаки поверхностей, то классификация будет следующей:

по закону движения образующей различают поверхности с поступательным движением образующей, вращательным и винтовым;

по виду образующей поверхности бывают линейчатые (с прямолинейной образующей) и нелинейчатые (поверхности с криволинейной образующей);

по закону изменения формы образующей – поверхности с образующей постоянного или переменного вида;

по признаку развертывания поверхности на плоскость (возможности совмещения всех точек поверхности с плоскостью) различают развертываемые и неразвертываемые поверхности;

по дифференциальным свойствам – гладкие и негладкие поверхности.

Рассмотрим некоторые из поверхностей, применяемые в различных областях практической деятельности человека, и способы их отображения на комплексном чертеже.

Поверхность параллельного переноса (рисунок 3.30) – это поверхность, каркас которой образуется при поступательном перемещении одной кривой вдоль другой, т. е. параллельным перемещением образующей ( m ) по направляющей ( n ). Линия ( m ), которая при своем движении образует каркас поверхности, называется образующей , линия ( n ), которая определяет закон движения образующей в пространстве, называется направляющей . Из рисунка видно, что для поверхности параллельного переноса образующая и направляющая линии взаимозаменяемы, т. е. при движении линии m по линии n или, наоборот, линии n по линии m образуется каркас одной и той же поверхности.

Для отображения такой поверхности на комплексном чертеже необходимо выполнить две проекции образующей и направляющей (кривой или прямой), а затем выполнить проекции каркаса поверхности по следующему алгоритму:

на направляющей n выбираем ряд точек A , B , C , D ,…;

строим векторы AB , B C ,…;

осуществляем параллельный перенос линии т по векторам А B , B С , … (рисунок 3.30).

Поверхность вращения – это поверхность, каркас которой создается при помощи вращения некоторой линии (образующей m ) вокруг оси (прямой i , рисунок 3.31).

Проекции каркаса поверхности вращения выполняются на комплексном чертеже двумя проекциями направляющей, образующей и очерка поверхности.

Очерком, или очертанием , поверхности называется проекция линии контура поверхности на плоскость проекций (рисунок 3.32).

Проекции контурных линий поверхности (линии очерка) называют также линиями видимости, так как они отделяют видимую часть поверхности от скрытой, невидимой на определенной плоскости проекции.

Контур 1 (рисунок 3.32) – это граница зоны видимости при проецировании поверхности на плоскость П 1 . На горизонтальной проекции часть поверхности, находящаяся выше этой линии (точка А ), будет видимой, а часть поверхности – ниже этой линии (точка G ), будет невидимой. При проецировании на фронтальную плоскость границей зоны видимости будет контур 2, часть поверхности, находящаяся перед этой линией (точка С ), будет видимой, а часть поверхности, находящаяся за этой линией (точка F ), – невидимой.

Каркас поверхности вращения можно также построить, зная определитель поверхности – совокупность условий, задающих поверхность в пространстве и на чертеже. Различают геометрическую и алгоритмическую части определителя. Геометрическая часть его представляет собой набор постоянных геометрических элементов (точек, прямых, плоскостей и т. п.), а алгоритмическая – содержит перечень операций, позволяющих создать непрерывный каркас проектируемой поверхности с помощью этих геометрических элементов. Например, сфера однозначно определяется заданием координат ее центра и величиной радиуса – это геометрическая часть определителя, а алгоритмическая часть выражается словами: сфера – это множество точек пространства, удаленных от центра на расстояние, равное радиусу.

Для любой поверхности вращения, имея проекции геометрической части определителя: проекции образующей ( m ) и проекции оси вращения ( i ), алгоритм построения каркаса поверхности будет следующим (см. рисунок 3.31):

на образующей m выделяют ряд точек A , B , C , …, F ;

каждую выделенную точку вращают вокруг оси i .

Каркас поверхности представляет собой множества окружностей, плоскости которых расположены перпендикулярно оси вращения ( i ) . Эти окружности называются параллелями ; наименьшая параллель – горло , наибольшая – экватор.

Из закона образования поверхности вращения вытекают два основных свойства:

плоскость, перпендикулярная оси вращения, пересекает поверхность по окружности – по параллели;

плоскость, проходящая через ось вращения, пересекает поверхность по двум симметричным относительно оси линиям – по меридианам.

Плоскость, проходящая через ось параллельно фронтальной плоскости проекций, называется плоскостью главного меридиана, а линия, полученная в сечении, – главным меридианом.

Приведем несколько примеров поверхностей вращения.

Читайте так же:
Мангал из штампованных дисков

Параболоид вращения – каркас образуется при вращении параболы ( m ) вокруг своей оси симметрии ( i ) (рисунок 3.33).

Гиперболоид вращения – различают однополостный (рисунок 3.34) и двухполостный (рису-
нок 3.35) гиперболоиды вращения. Каракас первого получается при вращении вокруг мнимой оси ( i ), а второго – вращением гиперболы вокруг действительной оси ( i ).

Винтовая поверхность – это поверхность, каркас которой образован винтовым движением некоторой линии. Движение линии называется винтовым , если каждая точка этой линии описывает цилиндрическую винтовую линию. Таким образом, на винтовой поверхности два семейства линий составляют ее сетчатый каркас: семейство образующих и семейство линий хода (винтовых параллелей).

Определитель винтовой поверхности можно представить следующим образом:

геометрическая часть такого определителя состоит из двух линий: образующей ( m ) и оси ( j )
(рисунок 3.36);

алгоритмическая часть предполагает последовательность действий:

на образующей ( m ) выделяют ряд точек
( А , В , С , …);

строят винтовые линии заданного шага и направления, по которым перемещаются обозначенные точки.

Если при своем движении образующая пересекает ось винтового движения, то поверхность называется закрытой , в противном случае – о ткрытой .

Если образующая – прямая линия, то винтовая поверхность называется геликоидом . Он бывает прямым , если образующая перпендикулярна оси винтовой линии, в противном случае – наклонным . Закрытый наклонный геликоид называется архимедовым , так как его сечением плоскостью, перпендикулярной оси винтового движения, является кривая, называемая спиралью Архимеда.

Рассмотрим простейшую винтовую поверхность (рисунок 3.36) – прямой закрытый геликоид (Ф), образованный винтовым движением прямой ( l ), пересекающей под прямым углом ось ( j ) винтового движения. Условие перпендикулярности прямой ( l ) оси ( j ) эквивалентно условию параллельности образующих плоскости проекций П 1 , перпендикулярной оси ( j ). На чертеже фронтальная проекция образующей ( l 2 ) параллельна оси o x . Поверхность прямого геликоида на чертеже удобно задавать проекциями направляющей m ( m 1 и m 2 ). Определитель прямого геликоида записывается так: Ф ( j , m, П 1 ). Каркас геликоида состоит из образующих, параллельных плоскости П 1 , пересекающих ось ( j ) и винтовую линию ( m ) .

Здесь же (рисунок 3.36) показано построение фронтальной проекции ( А 2 ) точки ( А ), принадлежащей поверхности геликоида (Ф), по заданной ее горизонтальной проекции ( А 1 ). Для этого через эту точку ( А ) проведена образующая ( l ) данной поверхности (Ф).

Линейчатая поверхность – это поверхность, каркас которой образован движением прямой линии по заданному закону .

Рассмотрим некоторые из многообразия линейчатых поверхностей

Конические и цилиндрические поверхности. Каркас конической поверхности общего вида образуется движением прямой (образующей l ), прохо-
дящей через фиксированную точку S (вершину)
и пересекающей направляющую кривую а (рису-
нок 3.37).

Коническая поверхность с несобственной вершиной S ∞ ( s ) (удаленной в бесконечность) называется цилиндрической (рисунок 3.38) . Ее образующие пересекают направляющую а и параллельны направлению проецирования ( s ) .

Поверхности Каталана – линейчатые поверхности с плоскостью параллелизма . Каркас поверхности с плоскостью параллелизма представляет собой множество прямых-образующих ( a , b , c , d , e , f ), параллельных некоторой плоскости параллелизма (α) и пересекающих две направляющие ( m , n , рисунок 3.39).

В зависимости от формы направляющих образуются три частных вида простейших линейчатых поверхностей с плоскостью параллелизма.

Цилиндроид – поверхность, каркас которой строится движением прямолинейной образующей по двум направляющим кривым, при этом образующая (прямая) параллельна плоскости параллелизма во всех ее положениях (рисунок 3.40). Плоскостью параллелизма является в данном случае профильная плоскость проекций; образующей – прямая ( l ) , параллельная плоскости параллелизма; направляющими – плоская кривая ( m ) и пространственная
кривая ( n ).

Коноид – поверхность, каркас которой строится движением прямолинейной образующей по двум направляющим: одна из них – кривая, а другая – прямая; при этом образующая во всех положениях параллельна плоскости параллелизма (рисунок 3.41).

Гиперболический параболоид или косая плоскость – поверхность, каркас которой строится движением прямолинейной образующей, параллель-

ной плоскости параллелизма, по двум направляющим линиям – скрещивающимся прямым (рисунок 3.42).

Циклическая поверхность – это поверхность, каркас которой образован движением окружности постоянного (рисунок 3.43) или переменного (рисунок 3.44) радиуса по произвольной линии. Каркас циклической поверхности определяется законом движения образующей и законом изменения ее радиуса.

Геометрическая часть определителя циклической поверхности может быть задана проекциями трех направляющих ( l , m , n ) и оси ( i ) , вокруг которой вращаются плоскости (α, β), определяющие положение образующей в каждый из моментов. Алгоритмическая часть определителя описывается так: выделяется плоскость (α); находятся точки ( А α , В α, С α ), в которых эта плоскость (α) пересекает направляющие ( l , m , n ); строится окружность, по трем найденным точкам. Затем выделяется следующая плоскость (α) и построение повторяется (см. рисунок 3.43).

Поверхность с образующей переменного вида . Рассматриваемые выше поверхности имели каркасы, состоящие из образующих постоянного вида (прямых или кривых). Но существуют поверхности, каркасы которых образуются движением плоских кривых переменной формы, например (рисунок 3.45) труба, образующими которой являются непересекающиеся кривые различного вида, а направляющей – кривая Безье.

3 Виды поверхностеЙ и их проекции Ранее были рассмотрены особенности отображения точки, прямой и плоскости на комплексном чертеже. Для изображения прямой н

Ранее были рассмотрены особенности отображения точки, прямой и плоскости на комплексном чертеже. Для изображения прямой необходимо выполнить проекции двух ее точек, плоскости – трех точек. Кривые поверхности отображаются на комплексном чертеже в виде проекций:

образующей линии, направляющей линии и очерка поверхности;

направляющей и плоскости параллелизма;

геометрической части определителя поверхности;

конечного множества точек, позволяющих аппроксимировать кривую поверхность поверхностью многогранника, вершины которого расположены на поверхности, а гранями являются треугольники, образующие определенную (триангуляционную) сеть.

Каркасом называется множество линий, заполняющих поверхность так, что через каждую точку поверхности в общем случае проходит одна линия каркаса.

Кривая поверхность может быть представлена с помощью математической формулы (например, алгебраические выражения второго порядка), тогда координаты линий ее каркаса вычисляют по формуле, а затем вычерчивают их проекции.

Многообразие поверхностей требует их систематизации на основе классификации. Такая систематизация, впрочем, достаточно условна, так как одни и те же поверхности могут быть классифицированы по разным признакам. Например, коническая поверхность вращения относится к линейчатым и поверхностям вращения. Если выделить главные признаки поверхностей, то классификация будет следующей:

Читайте так же:
Как пилить циркулярной пилой видео

по закону движения образующей различают поверхности с поступательным движением образующей, вращательным и винтовым;

по виду образующей поверхности бывают линейчатые (с прямолинейной образующей) и нелинейчатые (поверхности с криволинейной образующей);

по закону изменения формы образующей – поверхности с образующей постоянного или переменного вида;

по признаку развертывания поверхности на плоскость (возможности совмещения всех точек поверхности с плоскостью) различают развертываемые и неразвертываемые поверхности;

по дифференциальным свойствам – гладкие и негладкие поверхности.

Рассмотрим некоторые из поверхностей, применяемые в различных областях практической деятельности человека, и способы их отображения на комплексном чертеже.

Поверхность параллельного переноса (рисунок 3.30) – это поверхность, каркас которой образуется при поступательном перемещении одной кривой вдоль другой, т. е. параллельным перемещением образующей ( m ) по направляющей ( n ). Линия ( m ), которая при своем движении образует каркас поверхности, называется образующей , линия ( n ), которая определяет закон движения образующей в пространстве, называется направляющей . Из рисунка видно, что для поверхности параллельного переноса образующая и направляющая линии взаимозаменяемы, т. е. при движении линии m по линии n или, наоборот, линии n по линии m образуется каркас одной и той же поверхности.

Для отображения такой поверхности на комплексном чертеже необходимо выполнить две проекции образующей и направляющей (кривой или прямой), а затем выполнить проекции каркаса поверхности по следующему алгоритму:

на направляющей n выбираем ряд точек A , B , C , D ,…;

строим векторы AB , B C ,…;

осуществляем параллельный перенос линии т по векторам А B , B С , … (рисунок 3.30).

Поверхность вращения – это поверхность, каркас которой создается при помощи вращения некоторой линии (образующей m ) вокруг оси (прямой i , рисунок 3.31).

Проекции каркаса поверхности вращения выполняются на комплексном чертеже двумя проекциями направляющей, образующей и очерка поверхности.

Очерком, или очертанием , поверхности называется проекция линии контура поверхности на плоскость проекций (рисунок 3.32).

Проекции контурных линий поверхности (линии очерка) называют также линиями видимости, так как они отделяют видимую часть поверхности от скрытой, невидимой на определенной плоскости проекции.

Контур 1 (рисунок 3.32) – это граница зоны видимости при проецировании поверхности на плоскость П 1 . На горизонтальной проекции часть поверхности, находящаяся выше этой линии (точка А ), будет видимой, а часть поверхности – ниже этой линии (точка G ), будет невидимой. При проецировании на фронтальную плоскость границей зоны видимости будет контур 2, часть поверхности, находящаяся перед этой линией (точка С ), будет видимой, а часть поверхности, находящаяся за этой линией (точка F ), – невидимой.

Каркас поверхности вращения можно также построить, зная определитель поверхности – совокупность условий, задающих поверхность в пространстве и на чертеже. Различают геометрическую и алгоритмическую части определителя. Геометрическая часть его представляет собой набор постоянных геометрических элементов (точек, прямых, плоскостей и т. п.), а алгоритмическая – содержит перечень операций, позволяющих создать непрерывный каркас проектируемой поверхности с помощью этих геометрических элементов. Например, сфера однозначно определяется заданием координат ее центра и величиной радиуса – это геометрическая часть определителя, а алгоритмическая часть выражается словами: сфера – это множество точек пространства, удаленных от центра на расстояние, равное радиусу.

Для любой поверхности вращения, имея проекции геометрической части определителя: проекции образующей ( m ) и проекции оси вращения ( i ), алгоритм построения каркаса поверхности будет следующим (см. рисунок 3.31):

на образующей m выделяют ряд точек A , B , C , …, F ;

каждую выделенную точку вращают вокруг оси i .

Каркас поверхности представляет собой множества окружностей, плоскости которых расположены перпендикулярно оси вращения ( i ) . Эти окружности называются параллелями ; наименьшая параллель – горло , наибольшая – экватор.

Из закона образования поверхности вращения вытекают два основных свойства:

плоскость, перпендикулярная оси вращения, пересекает поверхность по окружности – по параллели;

плоскость, проходящая через ось вращения, пересекает поверхность по двум симметричным относительно оси линиям – по меридианам.

Плоскость, проходящая через ось параллельно фронтальной плоскости проекций, называется плоскостью главного меридиана, а линия, полученная в сечении, – главным меридианом.

Приведем несколько примеров поверхностей вращения.

Параболоид вращения – каркас образуется при вращении параболы ( m ) вокруг своей оси симметрии ( i ) (рисунок 3.33).

Гиперболоид вращения – различают однополостный (рисунок 3.34) и двухполостный (рису-
нок 3.35) гиперболоиды вращения. Каракас первого получается при вращении вокруг мнимой оси ( i ), а второго – вращением гиперболы вокруг действительной оси ( i ).

Винтовая поверхность – это поверхность, каркас которой образован винтовым движением некоторой линии. Движение линии называется винтовым , если каждая точка этой линии описывает цилиндрическую винтовую линию. Таким образом, на винтовой поверхности два семейства линий составляют ее сетчатый каркас: семейство образующих и семейство линий хода (винтовых параллелей).

Определитель винтовой поверхности можно представить следующим образом:

геометрическая часть такого определителя состоит из двух линий: образующей ( m ) и оси ( j )
(рисунок 3.36);

алгоритмическая часть предполагает последовательность действий:

на образующей ( m ) выделяют ряд точек
( А , В , С , …);

строят винтовые линии заданного шага и направления, по которым перемещаются обозначенные точки.

Если при своем движении образующая пересекает ось винтового движения, то поверхность называется закрытой , в противном случае – о ткрытой .

Если образующая – прямая линия, то винтовая поверхность называется геликоидом . Он бывает прямым , если образующая перпендикулярна оси винтовой линии, в противном случае – наклонным . Закрытый наклонный геликоид называется архимедовым , так как его сечением плоскостью, перпендикулярной оси винтового движения, является кривая, называемая спиралью Архимеда.

Рассмотрим простейшую винтовую поверхность (рисунок 3.36) – прямой закрытый геликоид (Ф), образованный винтовым движением прямой ( l ), пересекающей под прямым углом ось ( j ) винтового движения. Условие перпендикулярности прямой ( l ) оси ( j ) эквивалентно условию параллельности образующих плоскости проекций П 1 , перпендикулярной оси ( j ). На чертеже фронтальная проекция образующей ( l 2 ) параллельна оси o x . Поверхность прямого геликоида на чертеже удобно задавать проекциями направляющей m ( m 1 и m 2 ). Определитель прямого геликоида записывается так: Ф ( j , m, П 1 ). Каркас геликоида состоит из образующих, параллельных плоскости П 1 , пересекающих ось ( j ) и винтовую линию ( m ) .

Читайте так же:
Ку 202 характеристика простейшие схемы включения

Здесь же (рисунок 3.36) показано построение фронтальной проекции ( А 2 ) точки ( А ), принадлежащей поверхности геликоида (Ф), по заданной ее горизонтальной проекции ( А 1 ). Для этого через эту точку ( А ) проведена образующая ( l ) данной поверхности (Ф).

Линейчатая поверхность – это поверхность, каркас которой образован движением прямой линии по заданному закону .

Рассмотрим некоторые из многообразия линейчатых поверхностей

Конические и цилиндрические поверхности. Каркас конической поверхности общего вида образуется движением прямой (образующей l ), прохо-
дящей через фиксированную точку S (вершину)
и пересекающей направляющую кривую а (рису-
нок 3.37).

Коническая поверхность с несобственной вершиной S ∞ ( s ) (удаленной в бесконечность) называется цилиндрической (рисунок 3.38) . Ее образующие пересекают направляющую а и параллельны направлению проецирования ( s ) .

Поверхности Каталана – линейчатые поверхности с плоскостью параллелизма . Каркас поверхности с плоскостью параллелизма представляет собой множество прямых-образующих ( a , b , c , d , e , f ), параллельных некоторой плоскости параллелизма (α) и пересекающих две направляющие ( m , n , рисунок 3.39).

В зависимости от формы направляющих образуются три частных вида простейших линейчатых поверхностей с плоскостью параллелизма.

Цилиндроид – поверхность, каркас которой строится движением прямолинейной образующей по двум направляющим кривым, при этом образующая (прямая) параллельна плоскости параллелизма во всех ее положениях (рисунок 3.40). Плоскостью параллелизма является в данном случае профильная плоскость проекций; образующей – прямая ( l ) , параллельная плоскости параллелизма; направляющими – плоская кривая ( m ) и пространственная
кривая ( n ).

Коноид – поверхность, каркас которой строится движением прямолинейной образующей по двум направляющим: одна из них – кривая, а другая – прямая; при этом образующая во всех положениях параллельна плоскости параллелизма (рисунок 3.41).

Гиперболический параболоид или косая плоскость – поверхность, каркас которой строится движением прямолинейной образующей, параллель-

ной плоскости параллелизма, по двум направляющим линиям – скрещивающимся прямым (рисунок 3.42).

Циклическая поверхность – это поверхность, каркас которой образован движением окружности постоянного (рисунок 3.43) или переменного (рисунок 3.44) радиуса по произвольной линии. Каркас циклической поверхности определяется законом движения образующей и законом изменения ее радиуса.

Геометрическая часть определителя циклической поверхности может быть задана проекциями трех направляющих ( l , m , n ) и оси ( i ) , вокруг которой вращаются плоскости (α, β), определяющие положение образующей в каждый из моментов. Алгоритмическая часть определителя описывается так: выделяется плоскость (α); находятся точки ( А α , В α, С α ), в которых эта плоскость (α) пересекает направляющие ( l , m , n ); строится окружность, по трем найденным точкам. Затем выделяется следующая плоскость (α) и построение повторяется (см. рисунок 3.43).

Поверхность с образующей переменного вида . Рассматриваемые выше поверхности имели каркасы, состоящие из образующих постоянного вида (прямых или кривых). Но существуют поверхности, каркасы которых образуются движением плоских кривых переменной формы, например (рисунок 3.45) труба, образующими которой являются непересекающиеся кривые различного вида, а направляющей – кривая Безье.

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ (Лекция), страница 13

PDF-файл из архива «Лекция», который расположен в категории «лекции и семинары». Всё это находится в предмете «начертательная геометрия» из первого семестра, которые можно найти в файловом архиве МГТУ им. Н.Э.Баумана. Не смотря на прямую связь этого архива с МГТУ им. Н.Э.Баумана, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр PDF-файла онлайн

Текст 13 страницы из PDF

Угол ° называетсяуглом подъёма винтовой линии (рис.130).На поверхности прямого кругового цилиндра винтовая линия определяеткратчайшее расстояние между двумя точками, принадлежащими этой поверхности. Такиелинии называются геодезическими.76Вопросы для самопроверки Что называется цилиндрической винтовой линией ? Как проецируется цилиндрическая винтовая линия на плоскость, параллельнуюее оси, и на плоскость, перпендикулярную ее оси? Что представляет собой развертка цилиндрической винтовой линии? Какие линии называются геодезическими?77Глава VIПОВЕРХНОСТИ§26.ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯПоверхности составляют обширное многообразие геометрических форм отсравнительно простой плоскости до сложнейших фигур криволинейных поверхностейтрехмерного пространства.

По разнообразию форм и свойств, по своему значению приформировании различных геометрических фигур, по той роли, которую они играют внауке, технике, архитектуре, изобразительном искусстве, поверхности не имеют себеравных среди других геометрических фигур.

Любое физическое тело ограничиваетсясвоей поверхностью. Инженерная деятельность неразрывно связана с конструированием,расчетом, изготовлением и изображением различных поверхностей, их объединением ивычитанием одной из другой.В математике под поверхностью подразумевается непрерывное множествоточек, между координатами которых может быть установлена зависимость,определяемая в декартовой системе координат уравнением в форме многочлена n-йстепени или в форме какой-либо трансцендентной функции [2]. Поверхность — этодвухпараметрическое множество точек или однопараметрическое множество линий [8].В начертательной геометрии принят кинематический способ образованияповерхностей, при котором поверхность рассматривается как непрерывная совокупностьпоследовательных положений некоторой движущейся в пространстве линии (рис.

131).Линию, производящую поверхность, называют образующей и обозначают g.Закон перемещения образующей в пространстве и изменения её формы задаютсяобычно направляющими линиями. Для получения наглядного изображения поверхностиможно представить её образование как скольжение образующей g одновременно по трёмнаправляющим линиям.Линии, по которым скользит образующая при своём движении, называютнаправляющими и обозначают d.Рис. 131Образующая может быть прямой, кривой, постоянного или переменного вида.Понятия образующей и направляющей часто условны.

Для задания одной и той жеповерхности образующая и направляющая могут меняться местами. Например,поверхность прямого кругового цилиндра может быть образована перемещениемобразующей прямой линии по направляющей окружности. Та же поверхность образуется78перемещением окружности по направляющей прямой. Обычно выбирают тот или инойспособ задания поверхности в зависимости от условий решаемой задачи.Если поверхность может быть задана перемещением прямой линии, она называетсялинейчатой, в противном случае — нелинейчатой.Линейчатыеповерхностиподразделяютсянаразвёртываемыеинеразвертываемые. Развертываемые поверхности могут быть совмещены с плоскостьюбез разрывов и складок, например, цилиндрическая и коническая поверхности.Неразвертываемые поверхности с плоскостью совместить нельзя.Вопросы для самопроверкиКакой способ задания поверхностей принят в начертательной геометрии?Что такое образующая и направляющая поверхности?Какие поверхности называются линейчатыми?Какие поверхности называются развертываемыми?§27.ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ПОВЕРХНОСТИПри кинематическом способе образования поверхности вводится понятиеопределителя поверхности.Определителем поверхности называется необходимая и достаточнаясовокупность независимых условий, однозначно задающих поверхность.Определитель поверхности состоит из двух частей: геометрической иалгоритмической частей.Геометрическая часть определителя содержит перечень геометрических фигур,участвующих в задании поверхности, и отношений между ними.Алгоритмическая часть определителя описывает закон движения и измененияобразующей.Чтобы отделить геометрическую часть определителя от алгоритмической, первуюзаключают в круглые скобки, а вторую — в квадратные.Тогда определитель произвольной поверхности будет иметь следующую форму:Ф (Г);[A],где (Г) — геометрическая часть; [А] — алгоритмическая часть.На основе определителя поверхности можно составить классификациюповерхностей.По виду движения образующей поверхности можно разделить на:1.

Читайте так же:
Франклин филд кто это

Поверхности параллельного переноса, когда образующая g перемещаетсяпоступательно вдоль направляющей dФ (g; d) ; [gj = Td (g)]2. Поверхности вращения, когда образующая g вращается вокруг некоторой оси i.Ф (g; i) ; [gj = Ri (g)]3. Винтовые поверхности, когда образующая gпоступательное и вращательное движения около оси iсовершаетравномерноеФ (g; i) ; [gj = Ri(g) ○ Ti(g)]79На чертеже поверхность задают проекциями геометрических фигур, входящих всостав геометрической части определителя.Вопросы для самопроверки Что называется определителем поверхности, из каких частей он состоит? Каково содержание геометрической и алгоритмической частей определителяповерхности? Как разделяют поверхности по виду перемещения образующей?§28.НЕЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИРассмотрение поверхностей начнём с некоторых нелинейчатых поверхностей,которые могут встретиться в инженерной практике.Циклические поверхности образуются окружностью переменного радиуса, центркоторой перемещается по какой-либо кривой (рис.

132а).Если плоскость образующей окружности в процессе перемещения остаётсяперпендикулярной к направляющей кривой, то поверхность называется каналовой. Еслирадиус образующей окружности в процессе перемещения остаётся постоянным, топоверхность называется трубчатой (рис. 132б).В качестве примера трубчатой поверхности можно привести поверхностьцилиндрической винтовой пружины.Рис. 132аРис. 132бПоверхности, задаваемые каркасом.

Эти поверхности задаются семействомлиний, образующихся при пересечении поверхностей плоскостями. Поверхности,задаваемые каркасом, нельзя считать вполне определёнными, так как неизвестно, что изсебя представляет поверхность между линиями, задающими каркас. Такие поверхностиещё называют графическими. Они могут быть заданы только графически (рис. 132в).80Рис.

132вИз нелинейчатых поверхностей интерес представляют поверхности второгопорядка, у которых образующими и направляющими являются кривые второго порядка.Одна из таких поверхностей — трёхосный эллипсоид, у которого образующей инаправляющими являются эллипсы, представлена на рис.133Рис. 133Для нахождения проекций точки А, принадлежащей эллипсоиду, следует на егоповерхности задать какую-либо линию (например, эллипс е) и на проекциях этой линииуказать проекции точки.Вопросы для самопроверки Как образуются циклическая и трубчатая поверхности? Как образуется поверхность трехосного эллипсоида?81§29ЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИПоверхность, образованная движением прямой линии по заданному закону,называется линейчатой.Всё многообразие линейчатых поверхностей может быть отнесено к трём случаям:29.1. Линейчатые поверхности с тремя направляющимиЭти поверхности образуются при перемещении прямолинейной образующей потрём направляющим.

Направляющими могут быть как прямые, так и кривые линии.( g; d1 , d 2 , d 3 );  g j    В качестве примера приведём изображение дважды косого цилиндроида —линейчатой поверхности с тремя направляющими — одной прямой и двумя кривымилиниями (рис. 134):Рис. 13429.2.Линейчатые поверхности с двумя направляющимии направляющей плоскостьюЭти поверхности образуются при перемещении прямолинейной образующей подвум направляющим.Вместо третьей направляющей задают плоскость, относительно которойобразующие в каждом своём положении расположены под одним и тем же углом.

Такаяплоскость называется направляющей плоскостью.( g; d1 , d 2 , );  g j     ( g j  )  const Если образующие в каждом своем положении параллельны направляющейплоскости, то эту плоскость называют плоскостью параллелизма.Рассмотрим некоторые поверхности с плоскостью параллелизма, которые ещёназывают поверхностями Каталана.Цилиндроид образуется перемещением прямолинейной образующей по двумкриволинейным направляющим, причем в каждый момент образующая параллельназаданной плоскости .82( g; d1 , d 2 , );  g j     g j  На рис.135 плоскость параллелизма  задана горизонтально проецирующей,поэтому горизонтальные проекции образующих параллельны горизонтальному следу hoэтой плоскости.Рис.135Если задана горизонтальная проекция K’ точки, принадлежащей поверхности, тодля нахождения её фронтальной проекции через точку K’ следует провестигоризонтальную проекцию g’ образующей, найти ее фронтальную проекцию g″ и на нейнайти фронтальную проекцию K″ точки K.Если задана фронтальная проекция M″ точки М, принадлежащей поверхности, тогоризонтальную проекцию этой точки можно найти с помощью кривой l, проходящейчерез точку М, предварительно проведя на поверхности ряд образующих.Коноид (рис.136) образуется перемещением прямолинейной образующей попрямолинейной и криволинейной направляющим, не лежащим в одной плоскости.( g; d1, d2 , );  g j     g j  Нахождение недостающих проекций точек, принадлежащих коноиду, аналогичнотому, как это продемонстрировано на цилиндроиде.Рис.

13683Гиперболический параболоид или косая плоскость образуется перемещениемпрямолинейной образующей по двум, не лежащим в одной плоскости, прямолинейнымнаправляющим.( g; d1 , d 2 , );  g j     g j  На рис.137 и рис.138 задана косая плоскость.На рис.137 прямые d1, и d2 являются направляющими, а прямые g1 и g2 —образующими, параллельными плоскости параллелизма α.

На рис.138 задана та жеповерхность, но направляющие и образующие поменялись местами. Новая плоскостьпараллелизма β является плоскостью общего положения, которая параллельна новымобразующим. Она задана пересекающимися прямыми a и b, где a || g1 и b || g2.Рис. 137Рис. 138На основании выше изложенного, можно сделать вывод о том, что на поверхностикосой плоскости имеется две системы образующих, которые обладают следующимисвойствами:1) две образующие одной системы являются скрещивающимися прямыми;2) две образующие разных систем всегда пересекаются;3) через каждую точку поверхности проходит по одной образующей каждойсистемы;4) все образующие одной системы параллельны некоторой плоскости.8429.3.Линейчатые поверхности с одной направляющей(торсовые поверхности)Поверхность с ребром возврата (торс) образуется перемещением прямолинейнойобразующей, в каждом своём положении касающейся некоторой пространственнойкривой (рис.139).

Эта пространственная кривая является для поверхности направляющей.Она называется ребром возврата.( g; d );  g j  d Рис. 139Рис. 140Ребро возврата делит поверхность на две полости, которые разделяются ребромвозврата.На чертеже поверхность задают только проекциями ребра возврата (рис.140).Если задана одна проекция А» точки А, принадлежащей поверхности, то, длянахождения второй проекции А’ точки, следует через точку А» провести касательную g» кпроекции d» кривой.

Далее, найдя горизонтальную проекцию В’ точки касания, построитьгоризонтальную проекцию g’ касательной, и на ней найти проекцию А’ точки А.Если ребро возврата вырождается в точку, то получается частный вид торса —коническая поверхность (если точка собственная) или цилиндрическая поверхность —если ребро возврата вырождается в несобственную точку.Коническая поверхность (рис.141а) образуется перемещением прямолинейнойобразующей g по криволинейной направляющей d.

голоса
Рейтинг статьи
Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector